Tập tin:One-point compactification.jpgCompact hóa một điểm của khoảng mở và đường thẳng thực thì đồng phôi với S 1 {\displaystyle S^{1}} . Compact hóa một điểm của một đĩa mở trong R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} thì đồng phôi với mặt cầu S 2 {\displaystyle S^{2}} .

Trong một vài trường hợp nhất định, ta có thể compact hóa một không gian không compact bằng việc thêm vào đó một điểm. Khi đó, ta gọi đó là compact hóa một điểm.

Ví dụ:

• Một tập compact hóa một điểm của tập X = [ 0 , 1 ) {\displaystyle X=[0,1)} là [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} .
• Một tập compact hóa một điểm của tập X = ( 0 , 1 ) {\displaystyle X=(0,1)} là S 1 = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1 } {\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}

Compact hóa một điểm Alexandroff

Cho X {\displaystyle X} là một không gian mà ∞ ∉ X {\displaystyle \infty \notin X} . Gọi X ∞ = X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{\infty }=X\cup \left\{\infty \right\}} , xác định một topo trên X ∞ = X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{\infty }=X\cup \left\{\infty \right\}} như sau:

Một tập mở trong X ∞ = X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{\infty }=X\cup \left\{\infty \right\}} :

• là một tập con mở của X {\displaystyle X} ,
• là X ∞ ∖ C {\displaystyle {X^{\infty }}\backslash {C}} , với C {\displaystyle C} là một tập con đóng, compact của X {\displaystyle X} .

Với topo này, X ∞ = X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{\infty }=X\cup \left\{\infty \right\}} là compact và chứa X {\displaystyle X} như một không gian con. Nếu X {\displaystyle X} không compact thì X {\displaystyle X} trù mật trong X ∞ = X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{\infty }=X\cup \left\{\infty \right\}} và X ∞ = X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{\infty }=X\cup \left\{\infty \right\}} được gọi là compact hóa Alexandroff của X {\displaystyle X} .

Ví dụ:

• Compact hóa Alexandroff của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} là S n {\displaystyle S^{n}} .
• Compact hóa Alexandroff của ⋃ i = 1 n ( i , i + 1 2 ) {\displaystyle \displaystyle {\bigcup _{i=1}^{n}{(i,i+{\frac {1}{2}})}}} là n {\displaystyle n} đường tròn tiếp xúc với nhau tại một điểm.[3]

Tính chất liên quan

• X ∞ {\displaystyle X^{\infty }} là không gian T 1 {\displaystyle T_{1}} nếu X {\displaystyle X} là T 1 {\displaystyle T_{1}} .
• X ∞ {\displaystyle X^{\infty }} là không gian Hausdorff nếu X {\displaystyle X} là Hausdorff và compact địa phương.
• Nếu X {\displaystyle X} đồng phôi với Y {\displaystyle Y} thì không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của X {\displaystyle X} sẽ đồng phôi với không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của Y {\displaystyle Y} . ( X ≈ Y ⟹ X ∞ ≈ Y ∞ {\displaystyle X\approx Y\Longrightarrow X^{\infty }\approx Y^{\infty }} )